La Sezione Aurea in fotografia: l’Occhio di Dio (un po’ di teoria)

di Antonio Lo Torto

Qualche mese fa, guarda un po’ proprio mentre parlavamo di composizione dell’immagine, accennai al fatto che avremmo approfondito l’argomento della sezione aurea in fotografia, le sue implicazioni e le sue conseguenze. Riconosco che non si tratti di un argomento dei più leggeri, ma vi assicuro che è una sensazione “passeggera”. Infatti, se avrete la pazienza di seguire gli appunti teorici di questa prima parte, le successive risulteranno sicuramente più limpide e decisamente più scorrevoli… promesso! Anche per me non è stato facile mettere giù (e nel modo più comprensibile) certi temi così “scolastici”, ma sia “per questa mia saccenza innata che mi viene proprio da dentro “, sia perché “a grande richiesta” mi è stato domandato di farlo, ho voluto provarci lo stesso. Infine, come dice il mio amico “Manuel”,  ammetto che tutto questo sembri più un argomento da tesi di laurea, piuttosto che una chiacchierata da blog, ma secondo me certi temi vanno trattati con una certa precisione…

Chiunque volesse ampliare, puntualizzare, correggere, stroncare e/o altro è naturalmente il benvenuto. Andiamo per punti… come sempre.

1. Cominciamo parlando di Euclide, un tizio che viveva ad Alessandria d’Egitto intorno al 300 a.C. e che con ogni probabilità fu il primo a descrivere il cosiddetto numero phi e lo chiamò proporzione estrema e media (che è la stessa cosa che dire “sezione aurea”). In pratica si tratta di un valore che indica una proporzione, un rapporto tra due lunghezze diverse di cui quella maggiore è media proporzionale tra quella minore e la somma delle due.

Sezione aurea di un segmento AB (disegno dell’autore)

Dato il segmento AB = AC + BC

allora, la sezione aurea di AB sarà il rapporto tra AC e BC se è valida la seguente relazione:

AB : AC = AC : BC = phi

ponendo AB = 1, avremo

1 : AC = AC : (1 – AC)

da cui:

AC : BC =  » 1,6180339887… = phi

che è un numero irrazionale. E questa era la definizione di sezione aurea di un segmento AB.

2. Ora passiamo al matematico Leonardo Fibonacci, che tutti conoscono grazie al Codice Da Vinci. Egli è lo scopritore “involontario” di quella successione di numeri interi naturali, detta successione ricorsiva o Sequenza di Fibonacci, in cui ogni termine altro non è che la somma dei due che lo precedono, per cui:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc.

Molto pochi invece sanno che al nostro caro sig. Fibonacci andrebbero attribuiti ben altri e molto più significativi meriti. Grazie a quest’illustrissimo pisano e al fatto che fosse figlio di un potente mercante che faceva affari con il nord Africa, oggi il mondo occidentale utilizza i numeri così come noi li conosciamo: Fibonacci, infatti, con il suo Liber Abaci scritto nel 1202, è stato colui che ha introdotto in Europa le cifre cosiddette indo-arabe. Fino a quel momento si usavano ancora i numeri romani…. comunque non divaghiamo.

Allora, la suddetta successione può essere scritta nel seguente modo (molto matematico, lo so…):

F_n-2 + F_n-1 = F_n

dove F_naltro non è che il numero che si trova all’n-esimo posto della sequenza, mentre F_n-1è quello che lo precede e F_n-2 è il numero che si trova due posizioni prima. Fin qui tutto abbastanza facile.

3. Voi vi domanderete: ma che ci azzeccano Euclide e Fibonacci?! Ecco, è a questo punto che le cose diventano interessanti. Nel 1611 un altro tizio che masticava un po’ di matematica di nome Keplero scoprì che tra sezione aurea e successione ricorsiva esisteva una relazione: infatti, man mano che dividiamo un qualsiasi numero F_ndella sequenza per il suo predecessore F_n-1 – cioè: F_n / F_n-1 – approssimiamo via via e sempre più precisamente sto’ benedetto numero aureo!

Ad esempio:

8/5         = 1,6

13/8       = 1,625

21/13     = 1,615384…

34/21     = 1,619047…

55/34     = 1,617647…

89/55     = 1,618682…

144/89   = 1,617978…

233/144 = 1,618056…

…

987/610 = 1,618033… ecc.

Pentagramma inscritto in un pentagono, cortesia di wikipedia.org

4. Tornando alla geometria (piana e solida), possiamo dire che la sezione aurea ricorra abbastanza di frequente ed in particolar modo nelle figure a struttura pentagonale. Infatti, grazie al genio matematico dei greci, fu scoperta nel pentagono regolare come rapporto fra diagonale e lato e nel pentagramma fra il pentagono interno e il lato della punta stellata.

Inoltre è riscontrabile in particolari poligoni – definibili aurei: il caso più emblematico è senz’altro quello del cosiddetto rettangolo aureo dov’è individuabile nel rapporto tra il lato lungo e quello più corto; vieppiù, all’interno di questa figura è ricavabile una serie di rettangoli simili sempre più ridotti e ciascuno con fattore di rimpicciolimento rispetto a quello più esterno pari a phi.

Costruzione del “rettangolo aureo” (disegno dell’Autore)

Nota: “Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato ai cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A’. Utilizzando il compasso e puntando in A’ disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:EB=AB:AE”[1].

Costruzione del rettangolo aureo mediante le sequenza di Fibonacci, cortesia di wikipedia.org

“Un modo alternativo per costruire un rettangolo dalle proporzioni auree è quello di accostare in successione quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8,…). In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune; come si vede dall’immagine il procedimento dei quadrati di Fibonacci crea invece lati sempre esprimibili tramite numeri interi, il che significa che il loro rapporto sarà sempre razionale. Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi “rigenerare” infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati e quindi una spirale” dalle particolari caratteristiche geometriche tra cui una sorta di avvitamento asintotico verso l’incrocio delle diagonali che possono essere ricavate all’interno

dei rettangoli aurei; punto di incontro che è stato definito l’Occhio di Dio (secondo Clifford Pickover), per il fatto che tutto sembra vertere attorno a questo punto, dalle spirali alle diagonali e alla sequenza di quadrati. “Interessante notare, poi, come non soltanto le diagonali vere e proprie si intreccino in questo particolare punto del rettangolo aureo, ma anche altre rette colleganti ulteriori punti notevoli di questo vorticoso accentramento.”[2]

A questo punto voi continuerete a domandarvi: mbè?! e a me?! che c’entra tutto ciò con la fotografia? C’entra, non così tanto come qualcuno vorrebbe farci credere, ma comunque un po’ c’entra…

Perché? Lo vedremo presto…

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[2] [http://it.wikipedia.org/wiki/Rettangolo_aureo]

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[1] [http://www.magiadeinumeri.it/Sezione_aurea.htm]